Оригинал статьи опубликован по этой ссылке
СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Авторы: Ивана Мекъявич, Сречко Пичулин
Тематический обзор
Надлежащее понимание основ успешного возведения оболочковых конструкций прошлого в сочетании с современными методами структурного анализа – вот, пожалуй, базовые моменты для инженеров-проектировщиков при разработке таковых сегодня, отличающихся малой толщиной и большей эффективностью. В данной статье обсуждаются принципы структурного анализа и оптимизации применительно к нескольким выдающимся оболочковым конструкциям, расположенным в разных частях мира. Расчет методом конечных элементов с использованием программного обеспечения Sofistik выявил результаты, наиболее близкие к теории оболочек и продемонстрировал большую эффективность при решении сложных практических задач. При структурной оптимизации бетонных сферических оболочек и крестовых сводов предпринимается попытка снижения общих растягивающих напряжений, прогибов и армирования системы при изменении геометрических параметров конструкции. Изучение аспекта оптимизации подобных оболочек наглядно показывает, что надлежащим образом распределенная толщина слоя бетона снижает давление на оболочку, прогибы и усиливает жесткость конструкции.
Ключевые слова: оболочки из бетона, оболочка с крестовым сводом, шаровые оболочки, структурный анализ, структурная оптимизация.
- ВСТУПЛЕНИЕ
Аналитические методики в рамках анализа тонкостенных покрытий, как правило, предполагают решение обычных уравнений или уравнений с частными производными, которые обычно, недопустимы, если речь идет о конструкциях со сложной конфигурацией. Следовательно, специалисты полагаются на численные методы, среди которых можно выделить метод конечных элементов в плане получения приемлемых решений. Инженерное суждение и опыт могут служить столь же надежными ориентирами, как и аналитические методы, основанные на упрощающих допущениях. Такие факторы как размер и геометрия оболочки, тип и величина кривизны, предельные условия и распределение нагрузки обязательно и в совокупности должны учитываться проектировщиком при выборе аналитических методик.
Широкое использование компьютерных программ для структурного анализа снизило зависимость от классических методов, дало понимание ранее нерешенных проблем и открыло возможности для автоматизированного оптимального проектирования.
Проектирование на основе безмоментной теории обеспечивало в руках опытных проектировщиков оболочек принципиально правильную основу для расчета; однако моментная теория, получаемая из компьютерных численных решений, дает неопытному инженеру возможность изучить “природу поведения” различных форм.
- СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК И РАСЧЕТА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО КУПОЛА
Сравнительная характеристика шарового купола была получена на основе результата расчета методом конечных элементов с использованием ПО Sofistik и уравнений по теории оболочек по примеру, обозначенному в списке литературы к статье – [1].
Жестко установленный шаровой купол (Рис. 1) анализируется с позиции однородной нагрузки от собственного веса (речь идет о поверхности купола). Основные параметры: радиус = 28.80 м (94.5 фт), постоянная толщина оболочки, h = 10.2 см (4 дюйма), α = 28°; радиус параллельной окружности в области свода, r0 = resinα = 13,49 м. (44.25 фт), коэффициент поперечного сжатия, v = 1/6 = 0,167, q = 2.55 кН/м2 (постоянная нагрузка) + 1.76 кН/м2 (рабочая нагрузка) = 4.31 кН/м2 (90 фунтов на квадратный фут); класс бетона – C30/37, прочность бетона – 30Н/мм2, модуль упругости – 32.000 Н/мм;
Рис. 1: Жестко закрепленный сферический купол: сравнение расчета методом конечных элементов и аналитического подхода
Значения сил, полученных с использованием компьютера, где мембранная сила – (1) и касательная сила, действующая по окружности: (2) приведены в таблице 1.
Уравнения смещений применительно к границе/краю купола вследствие воздействия мембранных сил (“погрешности”), а также граничных усилий X1 = H = 1 и X2 = Mα = 1, были выведены на основе моментной теории (более подробная информация – в списке литературы – [1]). Более того, величина требуемых корректирующих усилий (X1, X2) была получена с помощью компьютера посредством уравнений совместимости на опоре купола. Силы/усилия применительно к куполу представлены в Таблице 1 – соответствующие значения были получены путем сравнения мембранных величин с X1 и X2.
Программа по расчету методом конечных элементов в рамках ПО Sofistik позволила задать геометрию купола (также использовалась программа Sofiplus на базе Autocad [2]).
Для построения сетки купола использовались 4-х узловые ромбовидные листовые элементы. Для первоначального сравнения применялась грубая сетка (6014 элементов), которая затем измельчалась до сходимости усилий к значениям, найденным аналитическим методом. Нижний край купола был полностью защемлен. В окончательном анализе использовалась многоячеистая сетка (12028 элементов), показанная на Рис. 2.
В Таблице 1 приведены значения мембранной силы N, касательной силы, действующей по окружности Nθ и меридионального момента М, рассчитанные с применением ПО Sofistik, а также те, что были получены в результате расчетов по теории оболочек. Указанные силы и моменты были выявлены на нижнем крае и в верхней части сферического купола.
Рис. 2: Многоячеистая сетка шарового купола на жестких опорах (конфигурация с применением ПО Sofistik)
Таблица 1 также иллюстрирует тот факт, что классическая теория, разработанная Гекелером, также дает результаты, близкие к тем, что были выявлены посредством числового расчета. Краевое значение (Nθ) по безмоментной теории коренным образом меняется вследствие граничных условий, но при этом мембранная сила N изменяется незначительно. Следует отметить, что изгибающие моменты, в общем и целом незначительны, и ограничены узкой зоной у края купола. Что касается верхней части оболочки, результаты по методу конечных элементов были близки к тем, что были получены при использовании безмоментной или классической теории. Сравнивая расчеты, полученные по теории оболочек с результатами, полученными с применением ПО Sofistik, можно заключить, что модель конечных элементов шарового купола представляется более значимой, и в этой связи могут быть исследованы более сложные практические примеры.
3. СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ И ОБОЛОЧКИ С КРЕСТОВЫМ СВОДОМ, ПОДВЕРГШИЕСЯ АНАЛИЗУ
Рис. 3: Общий вид Kresge-MIT Auditorium, Бостон, США (Архитектор – Сааринер, 1954)
Рис. 4: Выставочный зал CNIT, Париж, Франция (Архитектор – Эскуиллиан, 1958)
Рис. 5: Административное здание в Эхиме, Матсуяма, Япония (Архитекторы – Танге и Тсубои)
Рис. 6: Het Evolution, Эйндховен, Нидерланды (Архитектор – Калфф, 1966)
С использованием программы расчета методом конечных элементов в рамках ПО Sofistik, способной эффективно разрешить крупномасштабные задачи по структурному анализу, было изучено несколько тонкостенных оболочек. На рис. 3-6 можно видеть выдающиеся примеры раннего использования оболочковых конструкций — Kresge-MIT Auditorium в Бостоне, Выставочный зал CNIT в Париже, Административное здание в Эхиме (Матсуяма) и Het Evolution в Эйндховене.
В Таблице 2 перечислены представленные оболочковые конструкции. В колонках 1-4 (Таб. 2) указаны название, дата завершения строительства, расположение и тип оболочек. В колонках 5-8 указаны габаритные размеры. В колонках 9-10 приведены данные о конфигурации каждой оболочки и примененной системе строительства. Указанные конструкции были возведены еще до использования компьютеров.
Таблица 1. Сравнение результатов по теории оболочек с результатами расчетов методом конечных элементов
| Значение | Теория оболочек | Расчет методом конечных элементов (ПО Sofistik) | Теория оболочек | Расчет методом конечных элементов (ПО Sofistik) | |||||||
| Мембранная теория | Классическая теория | Грубая сетка | Мелкоячеистая сетка | Грубая сетка | Мелкоячеистая сетка | ||||||
| Ψ | 0° (край) | 28° (верхняя точка) | |||||||||
| Nϕ/кН/м | -65,67 | -62,60 | -63,40 | -63,00 | -62,02 | -63,90 | -62,60 | ||||
| Nθ/ кН/м | -43,78 | -11,38 | -10,46 | -10,51 | -62,02 | -63,20 | -62,50 | ||||
| Mϕ/кНм/м | 0 | -1,16 | -1,10 | -1,18 | 0 | 0,08 | 0,04 | ||||
Таблица 2. Наиболее примечательные оболочковые конструкции
| Название конструкции | Год постройки | Местонахождение | Тип | Радиус, м | Длина, м | Высота | Толщина | Конфигурация оболочки | Примененная система строительства |
| Kresge auditorium, MIT | 1954 | Бостон, США | 1/8 площади – шаровой сегмент, здание в форме треугольника | 34 | 49 | — | 8,9 | Поддерживается в трех точках | Бетон, уложенный на месте производства работ |
| Выставочный зал CNIT | 1958 | Париж, Франция | Крестовый свод, здание в форме треугольника | 100-200 | 205.5 (218) | 46.3 | 12 | Двухслойная оболочка, перетекающая в вертикальные стены (составное сечение) во избежание прогибов | Бетон, уложенный на месте производства работ |
| Административное здание Эхима | — | Матсуяма, Япония | Пологая сферическая оболочка | — | 49,35 | 7,0 | 8,0 | Сферический купол с уклоном, концевая кромка поддерживается 20-ю колоннами | Бетон, уложенный на месте производства работ |
| Het Evoluon | 1966 | Эйндховен, Нидерланды | Шаровой сегмент | — | 77,0 | 9,0 | — | Предварительно напряженная концевая кромка | Сорный бетон |
3.1 Kresge Auditorium
Здание, спроектированное известным архитектором-модернистом Ээро Саариненом, представляет собой шаровой сегмент (1/8 общей площади здания) с бетонной крышей в виде купола с примыкающей к нему конструкцией в форме треугольника длиной 49 метров (160 футов). Купол полностью опирается на три точки в вершинах треугольника. Общая масса кровли – приблизительно 1500 тонн, а толщина кровельной оболочки 8,9 см (3,5 дюйма), причем ближе к краевым балкам её толщина увеличивается до 14 см. Бетонная оболочка толщиной 8,9 см (3,5 дюйма) закрыта стекловолокнистой плитой толщиной 5,1 см (2 дюйма) и дополнительным ненесущим слоем легкого бетона толщиной 5,1 см (2 дюйма). Конструкция Сааринена требует доработок, поскольку при обработке оболочки имел место весьма ощутимый краевой эффект, и как следствие пленочное напряжение оболочки, которое следовало уравновесить посредством краевой балки высотой 45,7 см (18 дюймов). В трех точках опоры также наблюдалось напряжение. Эти точки были усилены коническими H-образными стальными ребрами, которые, в свою очередь, были соединены с шарнирно-неподвижной опорной частью, допускающей некоторое смещение. В итоге, после демонтажа опалубки выяснилось, что в краях наблюдается недопустимый прогиб (свыше 12,7 см или 5 дюймов), причина которого – бесконтрольное сползание материала. Конструкция была усилена дополнительными опорами в форме стальных трубок (4 x 9 дюймов), расположенных на расстоянии 3,35 м (11 футов) друг от друга; эти же стальные трубки использовались в качестве опор для застекленной навесной стены [3].
Проблемы, связанные с этим зданием, не ограничились разрешением задач по расчету конструкции. Оболочка сама по себе была сложна и необычна с точки зрения изготовления; большую сложность представляли следующие вопросы: укладка бетона (ненадлежащая степень уплотнения), защита стальной арматуры (недостаточная толщина защитного слоя), а также гидроизоляция кровли. Удовлетворительное решение этих проблем пришло только через десятилетия после ввода здания в эксплуатацию и после нескольких этапов испытаний кровли здания.
Изначально примененное кровельное покрытие из неопрена было позднее заменено на освинцованное покрытие из меди, а еще позже – на кровельную медь. Ремонтные работы были весьма дорогостоящими, поэтому на несколько месяцев здание было закрыто.
3.2. Выставочный Зал CNIT
Знаменитый выставочный зал CNIT на Ла-Дефенс в Париже, спроектированный французским инженером Николасом Эскуиллианом, считается самой большой оболочечной кровлей в мире с пролетом 206 м. Огромная оболочка CNIT на трех опорах (Рис. 4) – наглядный пример того, где оригинальная форма была использована для достижения статической работы конструкции, в данном случае был применен принцип трех арок[1]. Оболочка представляет собой 6 двухслойных параболических сводов, сведенных в крестовый свод в форме треугольника с тремя горизонтальными ребрами и плавными скругленными изгибами под ними, так, чтобы возможные нагрузки распределялись прямо на три опоры, а не на краевые балки, как в оболочке Kresge Auditorium [4]. Однако было бы проще спроектировать полный купол, чем треугольный кусок, вырезанный из него, из-за неустойчивости свободного края, создающего потенциал для потери устойчивости. Эта проблема была предотвращена использованием двухслойной оболочки, разнесенной вертикальными стенками. Общая ширина составляет 1,9 м в верхней точке и 2,7 м в нижней части. Толщина каждого слоя – 6 см (верхняя точка) и 12 см (нижняя часть). Толщина внутренних сборных поперечных стен – 6 см. Здание было построено в 1957-58 гг. (до использования компьютеров – ссылка [5] – список литературы).
3.3. Административное Здание Эхима
Общественный зал Эхима в Мацуяме, Япония, спроектированный японскими инженерами Танге и Цубоем, представляет собой пологую сферическую наклонную оболочку, поддерживаемую 20-ю колоннами. По основанию, между колоннами, была предусмотрена кольцевая конструкция. Толщина оболочки – 8 см при диаметре здания 49,35 м и высоте 7 метров[6].
3.4. Het Evoluon
Het Evoluon (Эйндховен) – последний значимый проект голландского архитектора Луиса Калффа. Здание уникально своим сходством с приземлившейся летающей тарелкой, что выглядит весьма футуристично. Диаметр купола – 77 метров, который “подпирают” 12 V-образных колонн. Общая высота – 30 метров[6].
4. ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Предлагаемый нами оптимизационный анализ применительно к вышеназванным конструкциям включает 3 основных момента: (1) оптимизационный анализ толщины, где проводится сравнение оболочки одинаковой толщины с той, в которой толщина оптимально распределяется по всей площади; (2) оптимизационный анализ размеров краевой балки и (3) оптимизационный анализ материала. Также дана оценка максимальным сжимающим и растягивающим напряжениям, а также максимальным значениям прогиба. Максимальные значения сжатия не обсуждаются подробно, но о них упоминается в контексте ограничений класса бетона по прочности, за исключением первоначального проекта Kresge Auditorium (Таблица 3). Тем не менее, в ходе проведения ремонтных работ на этом объекте обнаружилось, что прочность применяемого бетона заметно превысила требуемый показатель плотности, в пределах от 31 до 38 Мпа (4500 – 5500 фунтов на квадратный дюйм) [7].
Характеристики бетона рассчитываются исходя из объемного веса – 25 кН/м3, модуля деформации 36 ГПа (С45/55) и коэффициента поперечного сжатия, равного 0,2. Характеристики арматурной стали рассчитываются на основе напряжения текучести в 500 МПа и модуля деформации в 200 ГПа. Нагрузка на конструкцию – собственный вес и снеговая нагрузка 1,25 кН/м², равномерно распределенная по горизонтальной проекции.
Для построения модели и сетки в рамках ПО Sofistik для предварительной обработки данных была использована компьютерная программа Sofiplus. В сетке были применены прямоугольные или треугольные элементы (как в случае со зданием MIT auditorium).
4.1. Оптимизация Распределения Толщины
Распределение толщины было достигнуто посредством свободной оптимизации. Последняя относится к определению толщины оболочки вручную, то есть без применения компьютерного алгоритма.
Предполагалось, что каждый элемент сетки для Kresge auditorium имел исходную толщину в 8 см. С помощью программы Bemess в рамках ПО Sofistik был выполнен расчет армирования в соответствии с регламентом Eurocode 2, часть 1. Решение, предложенное программой Bemess в контексте оптимизации распределения толщины, нашло отражение в перфорированном варианте конструкции. Оптимальное решение в контексте задания на проектирование – распределение большей толщины вокруг опор эквивалентное 30 см. (Рис. 7). Цветом выделена градация толщины.
Рис. 7: Дизайн оптимизации конструкции применительно к Kresge auditorium
Прогибы и максимальные нагрузки на растяжение оболочки с оптимизированным распределением толщины (дизайн 2) сравниваются с той же самой однородной толщиной в 8,9 см (дизайн 1) и другой оболочкой, распределенной по ширине с краевой балкой и равномерно изменяющимся поперечным сечением (дизайн 3) (Таблица 3).
Согласно первоначальному варианту проекта (1) бетонная оболочка армируется с балкой жесткости (20 x 45 см) по периметру всего здания; класс бетона – С30/37. Согласно проекту 2 прочность бетона применительно к распределяемой толщине и наличию краевой балки (20 x 45 см) соответствует С40/50. Проект 3 иллюстрирует распределяемую толщину оболочки (30 x 30 см – 30 x 70 см) и наличие краевой балки – прочность бетона соответствует более высокому стандарту – С45/55.
Таблица 3. Главные напряжения, смещения и усиления трехоболочковых конструкций
| Дизайн | Нагрузка | Главное напряжение в верхней части, МПа | Главное напряжение в нижней части, МПа | Смещение, мм | Укрепление/армирование, см2/м | ||||
| Мин. | Макс. | Мин. | Макс. | Мин. | Макс. | Верхняя часть | Нижняя часть | ||
| 1 | Статическая нагрузка | -19,26 | 14,44 | -23,20 | 12,78 | -298,86 | 133,31 | 32,87 | 39,58 |
| Снеговая нагрузка | -9,71 | 7,41 | -11,55 | 6,53 | -153,22 | 68,43 | Коэффициент продавливания | ||
| 2 | Статическая нагрузка | -5,89 | 3,57 | -13,01 | 3,89 | -50,34 | 15,10 | 20,56 | 49,75 |
| Снеговая нагрузка | -4,78 | 4,13 | -8,09 | 3,87 | -48,76 | 16,58 | 7,33 | 13,37 | |
| 3 | Статическая нагрузка | -4,81 | 2,48 | -8,15 | 2,77 | -36,57 | 9,96 | ||
| Снеговая нагрузка | -3,60 | 3,05 | 4,79 | 3,52 | -40,64 | 12,72 | |||
Максимальные значения растягивающих напряжений от постоянной нагрузки (тип нагрузки – статическая нагрузка) соответствуют 14,43 МПа (дизайн 1), 3,89 МПа (дизайн 2) и 2,77 МПа (дизайн 3) (Таблица 3). Максимальные растягивающие напряжения имеют место в районе опор, с постепенным снижением до нуля в центре оболочки. Следует отметить, что положительные напряжения указывают на растяжение, отрицательные – на сжатие.
Для сравнения напряжений между тремя проектами оболочек исследуется количество растягиваемых зон в каждой оболочке, понимая, что растяжение нежелательно в тонкостенных железобетонных конструкциях. На Рис. 8 показаны области максимальных главных растягивающих напряжений для трех проектов оболочек. Рисунки ясно показывают, что проект 3 создает меньшую растягиваемую область и меньшие максимальные растягивающие напряжения, следовательно, является более эффективным проектом.
Рис. 8: Главные растягивающие напряжения применительно к оболочке Kresge auditorium
Прогибы оболочки ставят под сомнение аспекты жесткости и безопасности. Хайнц Ишлер, авторитетный разработчик тонкостенных оболочковых бетонных конструкций, определил максимально допустимый отношение прогиба к пролету (Δ/L) как 1/300 для своих оболочек [8,9]. Мы можем использовать данное значение в качестве ссылки при рассмотрении прогиба в направлении вниз для данной оболочки, который возникает в высшей точке бокового пролета L (Рис. 9). Значения показателя (∆/L) соответствуют 1/164, 1/973 и 1/1340 для дизайна 1, 2 и 3 соответственно. Полученные коэффициенты, за исключением дизайна 1, значительно меньше тех, что были введены Ишлером. В дополнение к сказанному, Таблица 3 наглядно иллюстрирует тот факт, что распределенная толщина оболочек (дизайн 2, 3) значительно меньше однородной толщины оболочки (дизайн 1). Знак “минус” в Таблице 3 указывает на смещение в направлении вниз.
Исследование контуров максимального прогиба вниз показывает, что оболочка равномерной толщины 8,9 см имеет не только больший максимум, но этот максимум распространяется на большую площадь по сравнению с двумя другими оболочками.
4.2. Оптимизация размеров и материала
Посредством свободной оптимизации были получены данные о свойствах материала и габаритных размерах балок для Kresge auditorium. Конструктивные параметры, подвергшиеся изменениям: высота краевой балки и прочность бетона. Краевая балка с равномерно изменяющимися параметрами поперечного сечения (высота варьируется от 30 см в наивысшей точке до 70 см в районе опор) применительно к дизайну 3 увеличивает жесткость оболочки и при этом снижает максимальные растягивающие напряжения и прогибы, тем самым уменьшая армирование (Таблица 3). Дополнительно, более высокий класс бетона типа С45/55 снижает величину прогиба и количество арматуры, необходимой для конструкции.
Оптимизационный анализ был перенесен на оболочковую конструкцию CNIT, характеризующуюся менее значимыми параметрами. Анализу подверглась однослойная оболочка с длиной пролета равной 80 м (L = 80 м). Соотношение пролета к толщине (L/h) эквивалентно 800 для данной однослойной оболочки, которая составляет почти половину значения L/h (1713) для 206-метрового пролета двухслойной оболочки CNIT. Тем не менее, при увеличении данного соотношения вполне могут появиться проблемы типа изгибов или потери устойчивости конструкции. Более того, аспект поведения строительной конструкции представляется более сложным вследствие ряда факторов, таких как: изгибы (потеря устойчивости), смещения, деформации и напряжения. Структурная оптимизация этого крестового свода приводит к распределению толщины по оболочке. На Рис. 10 можно видеть пример оптимального проектирования с четким распределением больших толщин вокруг опор и эффективной градации толщины к центру для минимизации напряжений и прогибов. Толщина увеличивается поэтапно, от 10 до 40 см с шагом в 2,5 см.
Рис. 10: Конструктивная оптимизация малой оболочки (проект CNIT)
Максимальные значения для растягивающих напряжений соответствуют 9,83 МПа (статическая нагрузка) и 10,43 МПа (снеговая нагрузка) – Рис. 11. Отсюда следует, что растягивающие напряжения превышают параметры предела прочности на растяжение, даже если речь идет о бетоне более высокого класса прочности. Например, если рассматривать конструкции, спроектированные Канделой [8], другим авторитетным специалистом в области тонкостенных оболочек из бетона, то можно заметить, что растягивающие напряжения, как правило, ниже пределов прочности бетона. В своих проектах Кандела повсеместно использовал стальную арматуру для предотвращения непредвиденных напряжений, которые могли возникнуть вследствие ползучести, усадки (сжатия) материалов и температурных воздействий.
Рис. 11: Главные растягивающие напряжения малой оболочки (проект CNIT) при статической нагрузке
Максимальный прогиб в направлении вниз применительно к малой оболочке конструкции CNIT имеет место в верхней точке (см. Рис. 12). Значение (∆/L) соответствует 1/636 для оболочки, используемой в пролете (80 м.), что меньше соотношения прогиба к пролету (1/300), введенного Ишлером (см. подпункт 4.1.).
Рис. 12: Прогибы в нижнем направлении для малой оболочки (проект CNIT) при статической нагрузке
Результат структурной оптимизации в отношении проекта Evoluon (Нидерланды) отражен в использовании однородной оболочки толщиной 8 см, усиленной меридиональными и кольцевыми ребрами. Ребристая модель, выстроенная с помощью ПО Sofistik, представляет собой окружность 20 x 30 см. в верхней части купола, опоясывающую купольный фонарь диаметром 6,7 м. Ребра под углом 7° в верхней части купола с параметрами 30 x 60 см расходятся лучами от кольцевой балки. Компьютерная модель также включает 2 кольцевых ребра (30 x 60 см), одно на расстоянии 6 м., а второе – на расстоянии 12,2 м от краевого кольца. Краевое кольцо (40 x 60 см), находящееся в месте стыка верхней и нижней оболочек, с диаметром 77 метров. Нижнее кольцо (60 x 80 см) поддерживается колоннами V-образной формы (80 x 80 см). Конфигурация нижней оболочки также включает два кольцевых ребра (30 x 60 см), одно из которых находится на расстоянии 6 м, а второе — на расстоянии 15,4 м от краевого кольца (Рис. 13).
Рис. 13: Ребристая модель оболочки для проекта Evoluon, выстроенная с помощью ПО Sofistik
Главные растягивающие напряжения показаны на Рис. 14. Максимальные значения главных растягивающих напряжений – 14,20 МПа (для статической нагрузки) и 3,21 МПа (для снеговой нагрузки, на рисунке выделенной темно-синим цветом).
Рис. 14: Главные растягивающие напряжения ребристой оболочки проекта Evoluon (для статической нагрузки)
Максимальный прогиб в направлении вниз применительно к ребристой оболочке (проект Evoluon) имеет место в верхней части купола (Рис. 15). Значение (∆/L) соответствует 1/635, что меньше предельного значения 1/300, которое использовал Ишлер.
Рис. 15: Ребристая оболочка (проект Evoluon): смещения в направлении вниз (для статической нагрузки)
Таблица 4. Эффект увеличения диаметра с учетом максимального растягивающего напряжения, перемещения и армирования конструкции купола Эхима
| Увеличение диаметра/м. | Нагрузка | Макс. растягивающее (главное) напряжение/МПа | Макс. смещение в направлении вниз/мм | Армирование/см2/м | |
| Верх | Низ | ||||
| 7 | Статическая нагрузка | 2,80 | 5,60 | 6,35 | 4,35 |
| Снеговая нагрузка | 1,62 | 3,21 | |||
| 8 | Статическая нагрузка | 2,46 | 4,46 | 5,64 | 3,85 |
| Снеговая нагрузка | 1,39 | 2,54 | |||
| 9 | Статическая нагрузка | 2,21 | 3,75 | 5,13 | 3,47 |
| Снеговая нагрузка | 1,22 | 2,09 | |||
4.3. Оптимизация Формы
Эффект подъема оболочки также был достигнут посредством свободной оптимизации. Значения применительно к диаметру (пролету) и толщине оболочки для проекта Эхима в контексте оптимизационного проектирования формы поддерживаются на постоянном уровне. Габаритные размеры кольца и колонн предположительно составляют 40 x 60 см и 50 x 50 см соответственно. Угол наклона оболочки выставляется на 2°. Единственной изменяемой величиной является увеличение диаметра. В рамках данного исследования вышеназванный показатель варьируется в следующих пределах: 7-8-9 метров.
В Таблице 4 приведены данные о влиянии диаметра на максимальное растягивающее (главное) напряжение, прогиб вниз и армирование для сферической оболочки с однородной толщиной равной 8 см. Также можно заметить, что с уменьшением диаметра максимальное растягивающее главное напряжение, прогиб в направлении вниз и степень армирования снижаются. При увеличении диаметра примерно на 30% происходит снижение максимальных растягивающих напряжений, прогибов и степени армирования на 24%, 34% и 20% соответственно.
Значение (∆/L), равное 1/8812 (что значительно меньше показателя 1/300 введенного Ишлером), относится к оболочке диаметром 7 м, изначально спроектированной для конструкции Эхима.
При допущении большего расстояния между несущими колоннами, оболочка будет характеризоваться более значимыми максимальным растягивающим (главным) напряжением, прогибом в направлении вниз и армированием.
Изучение нами аспектов структурной оптимизации в отношении сферических куполов привело к тому, что при увеличении размера (повышения жесткости) кольца оно способно “удерживать” большее натяжение; в предельном случае, когда площадь кольца эквивалентна ∞, система превращается в неподвижный купол с незначительным максимальным растягивающим (главным) напряжением и армированием. В обратном случае, при уменьшении размера (снижения жесткости) кольца, показатели максимального растягивающего (главного) напряжения купола и армирования существенно увеличиваются.
На Рис. 16 показаны участки максимального растягивающего (главного) напряжения для купола Эхима. Красным цветом выделена область, где напряжение отсутствует. На рисунке можно видеть, что эпюра моментов и растягивающие (главные) напряжения ограничиваются узкой зоной по краю купола. Этот участок становиться меньше при увеличении размеров кольца.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Анализ методом конечных элементов в данной работе демонстрирует, что структурная оптимизация ведет к более эффективному проектированию анализируемых железобетонных оболочек и что такой инструмент полезен для проектирования тонкостенных железобетонных конструкций.
В недавнем прошлом проектировщик полагался в основном на расчеты и методы, ограниченные ручными вычислениями. Сравнивая результаты, полученные при использовании теории оболочек и модели с конечным числом элементов применительно к сферическому куполу, можно сделать вывод об их надежности и эффективности при анализе и проектировании подобных конструкций.
Детальное изучение структурной оптимизации в отношении таких проектов как Kresge Auditorium и CNIT наглядно демонстрирует тот факт, что варьирование толщины оболочки – от наибольшей толщины в области опор, ведет к наиболее эффективному планированию относительно пониженных растягивающих напряжений, уменьшению количества прогибов и эффективному использованию материала. Можно резюмировать, что распределенная толщина уместна для данных проектов. Приведенные нами результаты указывают на то, что оболочка, примененная в проекте Kresge, могла бы быть спроектирована с учетом варьирования сечения краевой балки и более высокой (в сравнении с задокументированной – C30/37 – 4000 футов на квадратный дюйм) прочностью бетона в целях снижения чрезмерных прогибов. Результаты структурной оптимизации в отношении проекта Evoluon указывают на то, что оболочка могла быть спроектирована как ребристая модель, с меньшей толщиной для снижения веса. В результате изучения оптимизации формы оболочки для проекта Эхима было выявлено, что подъем оболочки мог быть выполнен на большую высоту (флаттерная оболочка; высота проекта по первоначальной документации – 7 метров). При допущении большего расстояния между несущими колоннами оболочка имела бы более значительное растягивающее напряжение, прогиб и армирование. Следует отметить, что структурная оптимизация этих проектов могла бы быть выполнена с использованием наиболее совершенных методов структурной оптимизации, доступных сегодня.